Ten typ problemu matematycznego wiąże się z pojęciami, takimi jak: równanie wielomianowe, wykładnicze, logarytmiczne lub trygonometryczne.
Nauka funkcji polega na badaniu jej zmian i granic; znalezienie granicy i asymptot (jeśli takie istnieją!), a na końcu wykreślenie równania.
Mając na uwadze opanowanie umiejętności wykreślenia funkcji, to zagadnienie pojawia się prawie co roku, jeśli chodzi o egzaminy. Jak możesz sobie wyobrazić, opanowanie tych umiejętności przyda Ci się również podczas nauki matematyki.
Przyjrzyjmy się temu przykładowi funkcji:
Różniczkowanie funkcji
Funkcja f(x) jest funkcją wielomianową utworzoną z 3 wyrażeń.
Oto szybki przykład różnicowania dla Ciebie...
Oto jak wyglądałoby nasze równanie po zróżniczkowaniu:
Obliczanie pochodnej
Celem tego kroku jest próba uczynienia naszej pochodnej tak prostą, jak to tylko możliwe, ale rozkładanie jej na czynniki nie zawsze jest wykonalne. Nie zapomnij rozłożyć funkcji na czynniki wszędzie tam, gdzie jest to możliwe, ponieważ później bardzo Ci to pomoże.
Być może znasz obliczanie pochodnej z naszych poprzednich artykułów na ten temat rozwiązywania równań!
Jeśli spojrzysz na pochodną powyżej, powinieneś zobaczyć, że każde wyrażenie ma w sobie czynnik 3.
Mając to na uwadze, uprośćmy nasze wyrażenie:
Jeśli spojrzysz na to, co jest w nawiasach po prawej stronie, możesz zauważyć znajomą postać równania kwadratowego!
Jeśli jesteś uważnym czytelnikiem naszych postów na blogu, pamiętasz poprzedni artykuł o rozwiązywaniu równań kwadratowych.
Podstaw wartości równania kwadratowego do jego wyróżnika.
Jeśli obliczona wartość jest większa niż 0, to równanie ma dwa różne rozwiązania.
Jeśli jest równe 0, to istnieje jedno rozwiązanie:
Jak widać, w naszym przypadku 16 jest większe od 0, więc rozwiązania są dwa.
Możesz spróbować ustalić, które dwie liczby należy podstawić do (x+a)(xb), aby wygenerować powyższe równanie,
ale tutaj mamy odpowiedź, która trochę to ułatwi:
Tak więc rozwiązaniem naszego rozkładu na czynniki było (x+3)(x-1), a 3 na zewnątrz pochodzi z miejsca, w którym wcześniej rozłożyliśmy 3 na czynniki.
W rzeczywistości wciąż istnieje wiele nierozwiązanych równań matematycznych.
Studiowanie wykresów pochodnych
Możemy określić niektóre właściwości wykresu przed jego narysowaniem, po prostu analizując samo równanie.
⚠️ Jeśli nasza wartość y wynosi 0, to nasz wykres przetnie oś x w punkcie -3
⚠️ Jeśli x jest większe niż -3, punkt przecięcia z osią y jest ujemny
⚠️ Jeśli x jest mniejsze niż -3, punkt przecięcia z osią y jest dodatni
⚠️ Jeśli x jest większe niż 1, to punkt przecięcia z osią y jest dodatni.
⚠️ Jeśli x jest mniejsze niż 1, to punkt przecięcia z osią y jest ujemny.
❗️ Istnieje minimum lub maksimum dla funkcji (ekstremum funkcji), w której pochodna tej funkcji jest równa 0.
❗️ Właśnie stwierdziliśmy, że nasza pochodna jest równa 0 przy x = -3 i x = 1.
❗️ To daje Ci: (-3, 33) i (1, 1).
❗️ Jednym ze sposobów jest po prostu naszkicowanie wykresu, który powinien szybko stać się oczywisty, innym jest spojrzenie na same współrzędne:
❗️ 33 jest wyraźnie większe niż 1, więc byłby to punkt maksymalny.
Jeśli funkcje są Twoją piętą achillesową, korepetycje matematyka są dobrym rozwiązaniem.
Rysowanie wykresu
Świetnie! Więc teraz użyliśmy pochodnej do obliczenia ekstremum funkcji (maksymalnego i minimalnego punktu naszej funkcji).
Ostatnim krokiem jest naszkicowanie wykresu. Aby to zrobić, najpierw zaznacz swoje maksimum i minimum na wykresie. Wiemy, że linia musi przechodzić przez oba te punkty, chociaż możemy nie być pewni jej kształtu.
Być może znasz już ogólny kształt równania trójmianowego, ale tak czy inaczej, najbezpieczniejszą metodą jest wybranie innych punktów przed, pomiędzy i po punktach minimalnych i maksymalnych, a następnie zasadniczo połączyć kropki.
Możesz również rozważyć skorzystanie z pomocy prywatnego nauczyciela, aby utrwalić swoją wiedzę na temat rozwiązywania zadań matematycznych. Możesz go znaleźć już teraz na Superprof!
Porady dla rysowania wykresu funkcji
📝 Zanim zaczniesz rysować, upewnij się, że rozumiesz funkcję, którą przedstawiasz na wykresie.
📝 Zidentyfikuj kluczowe cechy, takie jak zakres i wszelkie punkty krytyczne.
📝 Wybierz odpowiednią skalę dla swoich osi.
📝 Upewnij się, że jednostki i wartości przyrostu funkcji są odpowiednie dla tej, którą przedstawiasz na wykresie.
📝 Zacznij od wykreślenia ważnych punktów, takich jak punkty przecięcia funkcji (przecięcia x i y), punkty krytyczne i wszelkie asymptoty.
📝 Sprawdź, czy funkcja ma jakąkolwiek symetrię, na przykład jest parzysta (symetryczna względem osi y) lub nieparzysta (symetryczna względem początku).
📝 Skorzystaj z tych informacji, aby zmniejszyć liczbę punktów potrzebnych do wykreślenia.
📝 Rozważ użycie kalkulatorów graficznych, oprogramowania graficznego lub narzędzi online do dokładnego wykreślania złożonych funkcji.
📝 Może to zaoszczędzić czas i zmniejszyć ryzyko błędów.
📝 Zwróć uwagę na ogólny kształt funkcji.
📝 Czy jest liniowy, kwadratowy, sześcienny, wykładniczy czy innego typu?
📝 Zrozumienie funkcji pomoże Ci wykonać wstępny szkic.
📝 Pochodna funkcji może dostarczyć cennych informacji na temat jej zachowania.
📝 Spójrz na pochodną, aby zidentyfikować przedziały wzrostu, spadku i potencjalne punkty przegięcia.
📝 Wypełnij wykres, testując punkty pomiędzy kluczowymi cechami, które już wykreśliłeś.
📝 Użyj ich, aby udoskonalić kształt krzywej.
📝 Zidentyfikuj wszelkie asymptoty pionowe, poziome lub ukośne. Upewnij się, że wykres dokładnie odzwierciedla te asymptoty.
📝Dołącz opis osi, tytuł wykresu i wszelkie niezbędne adnotacje, aby wykres był przejrzysty i zawierał wiele informacji.
📝 Opisy osi, nazwy funkcji i jednostki miary są niezbędne dla przejrzystości wykresu.
Dobra rada
- Pamiętaj, że praktyka jest kluczem do osiągnięcia biegłości w rysowaniu wykresów funkcji.
- Zacznij od prostych funkcji i stopniowo przechodź do bardziej złożonych.
- Ponadto zasięgnięcie opinii nauczycieli lub rówieśników może pomóc w udoskonaleniu umiejętności tworzenia wykresów.
Wybierz korki matematyczne z Superprof.
Podsumowanie
Przedstawiliśmy podstawową pomoc z matematyki przy nauce funkcji i rysowaniu wykresów.
Jest kilka „problemów”, których tutaj nie omówiliśmy, chociaż jest mało prawdopodobne, aby pojawiały się zbyt często na egzaminie. Jednym z takich przykładów może być przerwa w samej funkcji.
Jeśli miałeś problemy ze zrozumieniem tego posta, nie panikuj!
Jest to temat omawiany na egzaminach maturalnych, nie mieści się w zakresie materiału na egzamin ósmoklasisty – chociaż trochę dodatkowej wiedzy nie zaszkodzi!
Lubisz ten artykuł? Oceń nas!
Loading...
