Zarówno dzieci, jak i dorośli, często uważają matematykę za trudny przedmiot! Jednak ten niepopularny przedmiot stanowi podstawowa część edukacji, a jeśli potrafisz ją opanować, jesteś na dobrej drodze, by odnosić sukcesy w nauce!
Kiedy przygotowujesz się do ukończenia szkoły (egzamin ósmoklasisty, matura, dobre stopnie) nie unikniesz konieczności rozwiązywania zadań matematycznych: zaczynając od podstaw arytmetyki, a następnie przechodząc do algebry, geometrii i ułamków zwykłych!
Na późniejszym etapie nauki Twoje umiejętności matematyczne pozwolą Ci utrzymać logiczne nastawienie do rozwiązywania problemów i poprawią zdolności umysłowe, pomagając odnieść sukces w zadaniu, które wykonujesz, niezależnie od tego, czy jest ono bezpośrednio związane z matematyką, czy nie!
Mając to wszystko na uwadze, nadszedł czas, aby ponownie przyjrzeć się jednemu z kluczowych obszarów matematyki, z którym często będziesz się spotykać: rozwiązywanie równań!
Z kalkulatorem pod ręką i odrobiną determinacji, dotrzesz do końca tego artykułu.
Kiedy skończymy, między innymi będziesz w stanie z łatwością rozwiązać kolejny problem matematyczny, niezależnie od tego, czy dotyczy on wielomianów, równań liniowych, funkcji czy czegokolwiek pomiędzy!
Co to jest równanie?
Podobnie jak w innych dziedzinach, gdy mamy do czynienia z rozwiązywaniem układów równań i tworzeniem ich wykresów, ważne jest zrozumienie używanej terminologii.
Twój nauczyciel matematyki z pewnością powie Ci, że znajomość definicji terminów matematycznych jest niezbędna, jeśli chcesz robić postępy w matematyce!
Według Słownika języka polskiego jest to:
Równość dwóch wyrażeń zawierających symbole literowe zwane niewiadomymi.
Od razu, w definicji słownika, pojawiły się terminy wyrażenia oraz niewiadome i nie znikną, dopóki nie skończymy rozwiązywać naszego równania!
To tylko wymyślne słowo, określające podstawianie jednej wartości za drugą: jeśli kiedykolwiek miałeś do czynienia z algebrą, prawdopodobnie znasz użycie x – to Twoja niewiadoma.
Składają się z liczb, liter i znaków matematycznych, które będziesz przekształcać, by znaleźć wynik równania.
Otrzymamy wraz z podaniem wartości naszej niewiadomej!
Jeśli wydaje Ci się to zbyt teoretyczne, oto definicja, którą z większym prawdopodobieństwem usłyszysz w klasie:
Równanie to zestaw dwóch wyrażeń, w których znajduje się szukana (często określana jako x). Ta niewiadoma musi zostać znaleziona, aby wiedzieć, jak znaleźć rozwiązanie problemu.
Masz teraz praktyczną wiedzę na temat wszystkich pojęć potrzebnych do rozpoczęcia rozwiązywania zadań:
Niezależnie od tego, czy patrzysz na równanie liniowe, równanie kwadratowe czy układy równań, powinieneś podjąć te same kroki: rozkładać na czynniki, usuwać współczynniki i rozwiązać je.
Umiejętności potrzebne do rozwiązywania równań matematycznych
Aby odnieść sukces w rozwiązywaniu zadań z równaniami, istnieją pewne umiejętności istotne dla studiowania matematyki, np. umiejętność logicznego rozwiązywania problemów, którą nabywamy w trakcie naszej kariery akademickiej i która pomaga nam stać się kompetentnymi matematykami.
Logiczne rozwiązywanie problemów
Pewne obawy związane z matematyką powodują, że duża liczba uczniów i dorosłych nie widzi zastosowania matematyki w życiu codziennym i myśli o niej wyłącznie jako o przedmiocie akademickim.
Dobra rada
- W rzeczywistości matematyka to integralna część naszego codziennego życia, nawet jeśli tego nie zauważamy.
- Od jedzenia, przez zakup domu, otwarcie konta bankowego, po naukę: matematyka jest wszędzie w naszym życiu; niezależnie od tego, czy dodajemy, mnożymy, odejmujemy, a nawet rozwiązujemy równania, nie zdając sobie z tego sprawy!
Twój nauczyciel matematyki w szkole (lub prywatny korepetytor matematyki) wyposaży Cię w umiejętności, które będą Ci służyć każdego dnia, przez resztę Twojego życia.
Oto kilka aspektów, które są kluczowe dla przyjęcia takiego podejścia do rozwiązywania zadań:
👉 Musisz być dokładny i wykonać wszystkie kluczowe kroki, gdy rozwiązujesz problem matematyczny: szczególnie taki, który obejmuje równania.
👉 Kiedy znajdziesz się w obliczu zadań matematycznych lub egzaminu, musisz być precyzyjny, działać metodycznie i logicznie.
🧠 Matematycy muszą pracować nad pamięcią!
🧠 Jeśli ćwiczysz regularnie, będziesz w stanie powiązać tematy, których uczyłeś się na zajęciach, z ich zastosowaniem w rozwiązywaniu zadanego Ci problemu.
🧠 Radzenie sobie z różnymi problemami oznacza, że problem, który już widziałeś, pojawi się z większym prawdopodobieństwem, a przy Twoim wcześniejszym doświadczeniu będzie znacznie łatwiej znaleźć rozwiązanie zadania matematycznego.
👏Aby znaleźć rozwiązanie równania, musisz wykonać szereg etapów.
👏Dobra organizacja w swoim środowisku pracy i podejście do problemów pozwoli Ci bez paniki pokonać każdy problem matematyczny, który stanie przed Tobą.
Znajdź nauczyciela w okolicy, wpisując np.: „korepetycje matematyka Poznań” w wyszukiwarkę Superprof.
Kiedy uczymy się równań matematycznych?
W szkole podstawowej uczymy się liczyć i poznajemy podstawy matematyki. Zaczynamy dodawać liczby, odejmować je i mnożyć: podstawy arytmetyki.
Możemy nawet nauczyć się podstaw tworzenia wykresów – te nauki zapewnią nam podstawy w matematyce i umiejętności potrzebne do późniejszego rozwiązywania zadań z równaniami.
Niektóre równania wykładnicze i kwadratowe można rozszyfrować za pomocą wykresów.
Później równania liniowe powoli zaczynają wkradać się do programu nauczania. Początkowo uczymy się rozwiązywać proste równania, zazwyczaj z jedną niewiadomą. Oto przykład równania, które możesz rozwiązać w tym czasie:
Tutaj musisz znaleźć niewiadomą: x.
Wkrótce ułamki i liczby ujemne zaczną pojawiać się w równaniach. Równania mogą teraz wyglądać mniej więcej tak:
Jednak rodzaje problemów na tym się nie kończą: jeśli zdecydujesz się studiować matematykę lub nauki ścisłe na uniwersytecie, napotkasz jeszcze trudniejsze zadania!
🟩 Czasami napotkasz równania pierwszego stopnia (liniowe) i być może uda Ci się znaleźć rozwiązanie dla niektórych z poniższych równań w ten sposób,
🟦 ale często napotkasz trudniejsze równania drugiego stopnia - równania kwadratowe,
🟪 równania trzeciego stopnia - równania sześcienne, itp.,
🟥 które sprawdzą Twoją wiedzę z kilku dziedzin: być może znajomość kalkulatora graficznego lub jak rozwiązywać równoczesne równania przez eliminację lub podstawienie!
Znajdź pomoc nauczyciela w okolicy, wpisując np „korepetycje matematyka Lublin” w wyszukiwarkę Superprof.
Rozwiązywanie równania liniowego
Równania liniowe są prawdopodobnie pierwszym rodzajem równań, z którymi zetkniesz się podczas nauki i zazwyczaj są najłatwiejsze do rozwiązania.
Zasadniczo rozwiązanie równania liniowego wymaga tylko czterech rodzajów obliczeń, które znamy od szkoły podstawowej: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.
Jeśli chcesz rozwiązać równanie liniowe z jedną niewiadomą, Twój cel jest prosty: musisz znaleźć wartość x.
W przypadku prostego równania możesz wykonać następujące czynności:
Przykład równania liniowego
1️⃣ Przenieś x na jedną stronę równania:
2️⃣ x został wyizolowany po jednej stronie równania:
3️⃣ Pogrupowaliśmy wspólne wyrażenia:
4️⃣ Usunęliśmy współczynnik x, dzieląc obie strony przez 4.
0
0
0
Gratulacje!
Masz teraz umiejętności wymagane do rozwiązania jednego z najsłynniejszych równań liniowych w historii matematyki: epitafium matematyka Diofantusa z Aleksandrii.
Epitafium podaje równanie, a rozwiązaniem tego równania jest wiek Diofantusa w chwili jego śmierci. Grób pochodzi z III wieku!
Umiejętność rozwiązywania równań liniowych jest kamieniem węgielnym Twojej wiedzy o równaniach - musisz ćwiczyć ją wielokrotnie, aż całkowicie opanujesz ten temat. Lepiej zacznij teraz wybierając korepetycje matematyka!
Rozwiązywanie równania rozłożonego na czynniki
Równania rozłożone na czynniki są formą równań wielomianowych, często określanych jako równania kwadratowe.
Zasadniczo równanie ma postać:
Przykład równania rozłożonego na czynniki wraz z jego rozwiązaniem
🟦 Te dwa czynniki odpowiadają dwóm wyrażeniom w nawiasach.
🟦 Abyśmy mieli jasność co do terminologii, współczynniki x, o których mówiliśmy wcześniej, to w tym przykładzie 3 i 2.
🟦 Aby rozwiązać równanie, musimy wziąć pod uwagę oba zestawy nawiasów.
1️⃣ Pójdziemy od lewej do prawej i znajdziemy wartość niewiadomej x:
2️⃣ (ponieważ nasze równanie musi być równe 0, aby iloczyn czynników był równy 0)
3️⃣ I drugi zestaw nawiasów...
4️⃣ (ponieważ nasze równanie musi być równe 0, aby iloczyn czynników był równy 0)
5️⃣ I usuwamy współczynniki x…
0
0
0
0
0
🟦 Ponieważ istnieją dwa czynniki, oznacza to, że istnieją dwa rozwiązania dla x - czasami nazywa się to zestawem rozwiązań.
🟦 Właśnie znaleźliśmy oba! x może wynosić 
lub 
.
Umiejętność rozwiązywania równań kwadratowych jest niezbędna w miarę postępów. Jeśli nie potrafisz rozwiązać równań kwadratowych, będziesz miał problemy z równaniami wyższego rzędu.
Może najpierw musisz odświeżyć swoją wiedzę na temat rozwiązywania równań liniowych?
Wyszukaj np. „korepetycje matematyka Wrocław” na Superprof, by znaleźć pomoc specjalisty.
Równania matematyczne z ułamkami
Ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera.
Możesz mieć do czynienia z równaniem w następującej postaci:
Aby rozwiązać takie równanie z ułamkiem w, postępuj zgodnie z tą listą:
Naucz się rysować funkcje.
Przykład rozwiązania równania z ułamkami
Będziemy używać techniki zwanej skracanie ułamka na krzyż, aby całkowicie usunąć ułamki.
Wyjściowo mamy takie równanie:
1️⃣ Zacznijmy od usunięcia ułamków:
2️⃣ Można je całkowicie usunąć z równania:
3️⃣ Używając tej samej metody:
4️⃣ Usunięcie ułamka po prawej stronie oznacza, że upraszcza to wszystko do czegoś znacznie ładniejszego:
5️⃣ Jest to łatwe dla lewej strony, ponieważ wystarczy pomnożyć przez x:
6️⃣ Przekształcamy w:
Ponieważ oba te wyrażenia są równoważne (są równe), nie musimy zmieniać prawej strony, ponieważ właśnie przepisaliśmy lewą stronę: nadal oznacza to samo.
Zobacz nasz artykuł Powtórka materiału do egzaminu ósmoklasisty, aby uzyskać więcej pomocy w tym zakresie.
7️⃣ Prawa strona jest trochę trudniejsza, ale działa na tej samej zasadzie.
Zawartość każdego zestawu nawiasów należy pomnożyć przez zawartość drugiego zestawu nawiasów, według tego schematu:
Czerwone linie pokazują nam mnożenie „x” od pierwszych nawiasów, a niebieskie linie pokazują nam mnożenie „-1” od pierwszych nawiasów.
8️⃣ To pozostawia nam następujące wyrażenia, zaczynające się od x w pierwszym nawiasie:
0
9️⃣ A teraz mnożymy -1 w pierwszym nawiasie:
0
1️⃣0️⃣ To wszystkie wyrazy z nawiasów po prawej stronie, po ich rozwinięciu.
Teraz możemy połączyć je w jedno wyrażenie, które reprezentuje prawą stronę pierwotnego równania:
0
1️⃣1️⃣ Następnie wstawimy wszystko, co ma x na lewą stronę równania:
1️⃣2️⃣ W powyższym równaniu robimy to samo po lewej stronie, co po prawej stronie równania, więc uporządkujemy wszystko:
1️⃣3️⃣ Musimy usunąć nasz współczynnik x:
1️⃣4️⃣ -1/2 nie jest wartością zabronioną, więc rozwiązaniem jest
Zauważ, że pomimo tego, że zaczyna się jako równanie kwadratowe (ponieważ w niektórych równaniach x występuje wykładnik potęgi dwójki), znoszą się one wzajemnie, więc mamy tylko jedno rozwiązanie.
‼️ Równanie bez rozwiązania jest możliwe ‼️
równania kwadratowe,
wykładniki,
liczby wymierne,
liczby niewymierne.
Znajdź nauczyciela w okolicy, wyszukując np. „korepetycje matematyka Warszawa” na Superprof.
Tworzenie równań w celu rozwiązania problemów
Czasami możesz zostać poproszony o utworzenie równania dla danego problemu. Nie martw się, to nie jest tak źle, jak się wydaje, zasadniczo tworzysz własne zadania tekstowe!
Metoda jest prosta i wystarczy upewnić się, że jesteś dokładny, aby uzyskać poprawną odpowiedź:
Czasami znajdziesz takie pytanie w kontekście problemu z geometrią – nie martw się kroki są takie same, po prostu pamiętaj, aby wcześniej odświeżyć sobie lekcje geometrii!
Odkryj listę nierozwiązanych równań w matematyce.
Troje kuzynów, Jaś, Tomek i Sylwia, mają łącznie 60 lat.
Ile lat ma każda osoba, wiedząc, że Sylwia jest trzy razy starsza od Tomka, a Jaś jest o 10 lat młodszy od Sylwii?
W tym zadaniu szukaną do znalezienia jest wiek trójki kuzynów, a można to zrobić za pomocą niektórych równań. Sprawdź, czy potrafisz rozwiązać ten problem matematyczny!
Dostępnych jest kilka opcji, jeśli chcesz poprawić lub udoskonalić swoje umiejętności matematyczne: odświeżenie znajomości znajdowania rozwiązań dla zadań równaniowych lub nauka czegoś nowego o geometrii!
Wszystkie przykłady, którym się dzisiaj przyglądaliśmy, dotyczyły liczb wymiernych i nie zawierały nierówności.
Jednak nierówności rozwiązuje się w ten sam sposób, po prostu zastępując znak równości wybranym znakiem równości.
Dlaczego równania i nierówności są ważne? Służą jako budulec Twojej wiedzy matematycznej i są niezbędne, gdy zaczynasz uczyć się rachunku różniczkowego, a może nawet macierzy!
Wiedza, że możesz skutecznie radzić sobie z problemami obejmującymi liczby całkowite, dziesiętne, liczby wymierne i różne rodzaje równań: niezależnie od tego, czy są to równania wykładnicze, rozwiązywanie równań kwadratowych, czy układy równań liniowych, będzie nieoceniona w miarę postępów w świecie matematycznym!
Matematyka korepetycje pozwolą Ci się rozwijać. Korepetytor wyjaśni trudne tematy, takie jak równania, we własnym tempie, używając metod dostosowanych do Twojego stylu uczenia się.
Regularne powtórki materiału i tworzenie własnego materiału do nauki, korzystanie z serwisu YouTube w celu nauki matematyki przez internet, w połączeniu z prywatnymi korepetycjami z matematyki, pomogą Ci osiągnąć najlepsze wyniki w matematyce!
Lubisz ten artykuł? Oceń nas!
Loading...
Super artykul podobal mi sie 🙂