Spis treści
Matematyka jest jednym z najważniejszych przedmiotów szkolnego programu nauczania. A czytając te wszystkie arabskie cyfry i dziwne litery na lekcji matematyki bardzo łatwo się pogubić! Jesteśmy tu, aby pomóc Wam zrozumieć na pierwszy rzut oka zawiłe, ale po chwili namysłu proste zagadki matematyczne!
Prawdopodobnie w pewnym momencie będziecie zazdrościli wszystkim młodym geniuszom, którzy traktują problemy matematyczne jako zabawną grę i potrafią bawić się liczbami.
Podejmując temat matematyki, w tym artykule spróbujemy odkryć matematyczne paradoksy, a także będziemy podróżować między arytmetyką, trygonometrią i prawdopodobieństwem.
Poznacie kulturę matematyki, zaczniecie ćwiczyć i w krótkim czasie będziecie mogli zostać swoim własnym nauczycielem matematyki!
Paradoks logiczny: ogólna definicja
Nie musicie posiadać tytułu magistra ani być geniuszem matematycznym, aby zrozumieć matematykę. Nie jest to tak skomplikowane, jak rozważanie twierdzeń filozoficznych – każdy może nauczyć się matematyki!
Czy to wszystko wydaje się trochę abstrakcyjne? Termin paradoks odnosi się do „stwierdzenia lub twierdzenia, które pomimo rozsądnego uzasadnienia z akceptowalnych przesłanek, prowadzi do wniosku, który wydaje się logicznie nie do przyjęcia lub wewnętrznie sprzeczny”.
Samo badanie tych zjawisk jest warte uwagi całej klasy!
W świecie przyrody jest jeszcze wiele paradoksów do rozwiązania. Ale jest wiele innych, które są uważane za zrozumiałe i co jeszcze bardziej interesujące, mogą być przydatne do rozumienia świata.
Niektóre paradoksy mogą być związane z fizyką i chemią, inne z nauką i technologią w szerszym pojęciu tego słowa. Problemy i paradoksy matematyczne fascynują miłośników matematyki i są one równie fascynujące jak liczba Pi.
Fałszywe paradoksy
Paradoks Achillesa i żółwia
Po pierwszym przeczytaniu wydawałoby się to łatwym do wyjaśnienia paradoksem, ale matematyczne rozwiązanie go to inna historia. Jeśli jesteście w stanie to zrobić, Wasze osiągnięcia są przeznaczone na Międzynarodową Olimpiadę Matematyczną czy Mistrzostwa Świata w Liczeniu.
Paradoks to opowieść o bajce, którą wszyscy znamy, o zającu i żółwiu. Już w V wieku naszej ery grecki filozof Zenon z Elei (490 p.n.e. 430 p.n.e.) zaproponował, że gdyby dać żółwiowi przewagę w wyścigu z bohaterem wojny trojańskiej, Achillesem, nigdy nie byłby w stanie go wyprzedzić. Aby wyprzedzić żółwia, Achilles musi go najpierw dogonić. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu „ucieknie”, pokonując 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak w nieskończoność. Wniosek nasuwa się sam: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, ponieważ zawsze będzie dzieliła ich zmniejszająca się odległość.
Choć twierdzenie to wydaje się całkowicie niedorzeczne, trudno je wytłumaczyć. Odpowiedź tkwi w tym, jak postrzegamy przestrzeń, czas i ruch oraz pojęcia nieskończoności.
Zagadka o braku dolara należy do tej samej kategorii nieformalnego błędu, ale jest częścią ponadczasowych zagadek matematycznych oraz świetnie nadaje się do utrwalenia swoich umiejętności logicznych!
Zagadka brakującego kwadratu
Nie, to nie chińska łamigłówka! To szybki kurs geometrii w krainie absurdu.
Mówiąc najprościej, paradoks brakującego kwadratu to logiczna hipoteza matematyczna, która ostatecznie opiera się na wizualnej iluzji, prowadząc nas w ten sposób do błędnego wniosku.
Tworząc trójkąt o innych kształtach geometrycznych, kształty można przestawiać, aby stworzyć inny trójkąt o tej samej wysokości i szerokości, ale w ten sposób powstaje również dodatkowy tajemniczy obszar. Więc, jak to się dzieje?
Odpowiedź jest całkiem prosta... żaden trójkąt nie jest "prawdziwym" trójkątem. Wzdłuż przeciwprostokątnej narysowanego kształtu istnieje niewielka krzywizna, którą ludzkie oko postrzega jako trójkąt. Mała pusta przestrzeń jest tak naprawdę tylko wynikiem niewielkiej deformacji idealnego trójkąta o lekko zaokrąglonych krawędziach. Nie potrzebujecie korepetytora z matematyki, żeby samemu to rozpracować!
Pozostając przy tym samym temacie, czy znacie największe matematyczne tajemnice?
Teoretyczne, ale niepraktyczne paradoksy
Paradoks Banacha-Tarskiego
Ta czysta teoria geometrii została zademonstrowana w 1924 roku, opierając się na aksjomie wyboru przy konstruowaniu zbiorów niemierzalnych. Można to podsumować w następujący sposób: można podzielić kulę o zwykłej przestrzeni R3 na (skończoną) liczbę części, a następnie złożyć je ponownie, tworząc dwie kule, identyczne jak pierwsza i o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej.
Rzeczywiście, taka rzecz jest możliwa tylko wtedy, gdy te małe kawałki kuli są niemierzalne (na przykład wprowadzenie objętości oznaczałoby sprzeczność). Metodologia wciąż wymaga wyjaśnienia... A teraz wypróbujcie to w prawdziwym życiu!
Geometria nieprzemienna Neumanna
W 1929 roku John von Neumann doprowadził ludzi do szaleństwa.
Odszedł on od aksjomatu wyboru, aby rozłożyć kwadrat na (skończoną) liczbę „zbiorów ”. Następnie dzięki przekształceniom zachowującym swoje powierzchnie uzyskał nie dwie kule, ale dwa kwadraty.
Potrzebujesz pomocy w opanowaniu królowej nauk? Wpisz np. „korepetycje matematyka Lublin” w wyszukiwarkę Superprof.
Problem ujawniony przez ten paradoks pozwolił Laczkovichowi w 2000 roku wyjaśnić ten rozkład wnętrza jednostki kwadratowej (zbiory równoodległe).
Paradoks golibrody (Antynomia Russella)
Nauczyciele szkół średnich bardzo lubią z tego korzystać, ponieważ ułatwia to uczniom nauczanie określonych przedmiotów.
Wyobraźcie sobie regułę, która mówi, że fryzjer musi ogolić wszystkich i jednocześnie tylko tych, którzy się nie golą. Pytanie brzmi, czy fryzjer sam się goli?
Jeśli się goli, łamie prawo, ponieważ jest zobowiązany do golenia tylko tych, którzy się nie golą. Z drugiej strony, gdyby nie golił własnej brody, nie wykonywałby swojej pracy polegającej na goleniu tych, którzy sami się nie golą.
To dobry sposób na pokazanie, jak racjonalizować absurd, prawda?
Antynomia Russella, należąca do teorii zbiorów (lub klas), jest nieco inna i zakorzenia się w polu teoretycznym: „W 1905 Bertrand Russell wykazał, że pojęcie „zbioru zbiorów, które same w sobie nie są elementami, „jest sprzeczne” (Universal). Encyklopedia, 6, 265).
A gdyby Ziemia zmieniła swój bieg?
Naszym następnym przystankiem jest topologia różnicowa i liniowa. W 1958 r. S. Smale sformułował „odwrócenie sfery”. Ale co to jest? Prawo, które bez wątpienia rozbawi studentów studiujących na studiach licencjackich lub magisterskich.
Wraz z rozwojem animacji komputerowej byliśmy w stanie zademonstrować możliwość wywrócenia piłki na lewą stronę w naszej trójwymiarowej przestrzeni. Ale kto wie, czy pewnego dnia spowoduje to prawdziwą rewolucję techniczną?
Ucz się matematyki online z Superprof!
Kontr-intuicja na przestrzeni lat
Paradoks Simpsona
Nie, nie ma to nic wspólnego z żółtymi postaciami z kreskówki o tej samej nazwie. W każdym razie i tak nie byłyby one dobrym przykładem racjonalnej abstrakcji.
Statystyk Edward Simpson sformułował ten paradoks w 1951 roku. Odnosi się on do pozornie sprzecznych zbiorów danych po prostu dlatego, że stosują się do różnych kryteriów.
Na przykład, aby walczyć z określoną chorobą, mamy do wyboru 2 zabiegi, które zostały dwukrotnie przetestowane. W pierwszym teście zabieg A wyleczył 63/90 osób (70%), a zabieg B wyleczył 8/10 osób (80%). W drugim teście leczenie A wyleczyło 4/10 osób (40%), a leczenie B wyleczyło 45/90 (50%).
Patrząc na testy indywidualnie, wydaje się, że leczenie B ma wyższy wskaźnik skuteczności, jednak jeśli połączymy dane, zobaczymy, że leczenie A wyleczyło 67/100 osób (67%), a leczenie B wyleczyło 53/100 osób (53). %), co oznacza, że leczenie A jest skuteczniejsze.
Pozorny paradoks Simpsona istnieje, gdy trend występujący w różnych grupach ulega odwróceniu, gdy te grupy się połączą.
Ten paradoks został wykorzystany w wielu rzeczywistych aplikacjach, aby pokazać, jak wyniki zbiorczych danych różnią się od wielu indywidualnych testów.
Kryterium Condorceta
Pomysł ten pochodzi od rewolucyjnego matematyka o tym samym nazwisku.
Jest to metoda stosowana w systemie głosowania, w którym wyborcy oceniają swoje preferencje, a nie głosują na jednego kandydata. Każdy możliwy kandydat jest przeciwstawiany w tym systemie, a ostatecznym zwycięzcą jest ten preferowany ponad wszystkimi innymi. Przeczytajcie więcej o tym, jak działa Paradoks głosowania tutaj.
Zasadniczo Kryterium Condorceta pozwala wyborcom „głosować na swoje prawdziwe preferencje bez martwienia się, że zmarnują swój głos na kandydata z niewielką lub żadną szansą na wygraną”, zgodnie ze stroną internetową Election Methods.
Krótko mówiąc, czytając o paradoksach i problemach matematycznych można naprawdę dobrze się bawić!
Aby zakończyć jeszcze zabawniejszą nutą, czy wiecie, że 2 naukowców faktycznie użyło pomocy matematyki, aby określić kto jest główną postać w GOT? Opowiedzcie o tym swojemu nauczycielowi matematyki!
Jeśli nie radzisz sobie z którymś z tych tematów wpisz np. „korepetycje matematyka Warszawa” w wyszukiwarkę Superprof, aby uzyskać pomoc doświadczonego nauczyciela.
Platforma, która łączy prywatnych nauczycieli i uczniów
Lubisz ten artykuł? Oceń nas!
Loading...
